бір электрондық атомдық жүелер үшін шредингер теңдеуі және

осындай жуедегі электрондардың ядромен әсерлесуінің потенциалдық энергиясы U(r)=-ze2/4π€0r U(∞)=0 (1) мұндағы Е0=8.85*10(12) Ф/м. осы жағдайда шредингер теңдеуі былай жазылады.∆Ψ+2m/h2(E+ ze2/4π€0r )Ψ=0 (2) . электрон қозғалатын өріс орталық симметриялы, яғни тек r ге тәуелді. сондықтан (2) теңдеуін шешу r,V,φ сфералық кординаттар жүйесінде жүргізіледі. Сонда ∆ лаплас операторы мына түрде жазылады. ∆=d2/dr2+2d/rdr+1/r2sinѲd/dѲ(sinѲd/dѲ)+1/r2sin2Ѳd2/dφ2 (3) (2) теңдеуін шешу айнымалыларды ажырату әдісімен Ψ фунцияға қойылатын талаптарды (бір мәнділік, шектелген, үздіксіз) ескеріп жүргізіледі. шешу барысында осы талаптарды Е энергияның кез келген оң мәндеріне теріс аймағында Е нің тек дискретті мәндерінде ғана, атап айтқанда, егер En=-me4/32π2€02h2(z2/n2) n=1.2…..(4) боғанда ғана қанағаттандыруға болатыны анықталынады. Е <0 жағдай электронның байланысқан күйлеріне (атомдағы электрон) сәйкес келеді. сонымен, шредингер теңдеуін бірізді шешуден Е <0 , яғни Е1,Е2,Еn дискретті энергия мәндері алынады. мүмкін болатын энергиясы ең кіші ең тқиенгі, Е1 деңгей негізгі, ал барлық қалғандары (En>E1 n=2.3) қозған деңгейлер болады. . Е <0 болғанда электронның қозғалысы байланысқан болып табылады. электрон гиперболалық потенциалдық шұңқыр ішінде болады. n бас кванттық сан өскен сайын энергетикалық деңгейлер бір біріне жақындай түсіп тығызырақ орналасады. n=∞ де E∞=0 болады. E>0 болғанда электронның қозғалысы байланыспаған, еркін қозғалыс болады. E>0 үздіксіз спектр аймағы йондаған атомға сәйкес келеді.