Математикадан олимпиада тапсырмалары

I. Есептерді шығарыңыздар.
1. Серілер мен суайттар. Қандай да бір бөлігі серілер, ал қалғандары суайттар болып келген аралдың әрбір 100 тұрғынына: «Сіздердің іштеріңізде неше сері бар?»-деген сұрақ қойылды. Олардың жауаптарында жүз әр түрлі сан айтылды. Қай сан міндетті түрде айтылды. (серілер әрқашан шындықты, ал суайттар өтірік айтады.)

2. Жерді бөлу. Төртбұрышты алқап (поле) екі диагоналімен төрт үшбұрышты телімдерге(участкелерге) бөлінді. Барлық телімдердің құны бірдей. Пьер мен Жан қарама-қарсы телімдерді сатып алды. Пьердің телімінің ауданы қалған үш телімнің аудандарының қосындысына тең. Жанның телімінің 1 акр жерінің құны қалған әр үш телімдегі 1 акр жерлердің құнының қосындысына тең екенін дәлелдеңіздер.

3. Шығып қалу ойыны. Оқушылар үстел теннисін «жеңімпазға» ойнады. Олар мынандай кезек пен тәртіп орнатты: алдымен бірінші мен екінші ойнайды, ал ары қарай әрбір келесі қатысушы алдыңғы жұптың жеңімпазымен ойнайды. Келесі күні сол оқушылар тағы да сол ережемен ойнады, бірақ кезек кері бағытта жүрді(кешегі соңғы бірінші болды, соңғының алдындағы–екінші, солай ары қарай). Әрқайсысының бірінші күні де және екінші күні де ең болмағанда бір рет ойнағаны белгілі. Бірінші күні де және екінші күні де бір-бірімен ойнаған екі оқушының табылатынын дәлелдеңіздер.

4. Бұрыш. Дұрыс ABCD тетраэдрасына сырттай сфера сызылған.Оның жақтары табандары болып келетіндей сыртқа қарай төбелері осы сфераның бойында жататын дұрыс ABCD1, ABDС1, ACDB1 және BCDA1 пирамидалары салынған. ABC1 және ACD1 жазықтықтары арасындағы бұрышты табыңыздар.

II. Әдістемелік блок.

№5 және №6 тапсырмаларында математикалық қателер («есеп» шартында, қалай да «жауаптарында» және «шешімдерінде») болуы мүмкін. Егер «есеп» шарты қисынсыз (некорректно) болса, онда неге сондай екенін түсіндіріңіз. Егер тек «шешуі» дұрыс болмаса, онда барлық қателерді көрсетіңіздер және дұрыс шешуін келтіріңіздер.

5. «Есеп». Қосындысы 119, ал квадраттарының айырымы жай сан болатын екі натурал санды табыңыздар,
«Жауабы»: 60 және 59.

«Шешуі». a және b – ізделінді сандар болсын, онда a + b = 119 және а2 – b2 – жай сан. а2 – b2 = (a + b)(a – b) болғандықтан, а – b = 1. Онда теңдеулер жүйесін шешіп, а = 60, b = 59 екенін табамыз.

6. «Есеп». ABCDEF алтыбұрышында қарама-қарсы қабырғалары тең және параллель, ал ACE үшбұрышы – тең қабырғалы. AOB, COD және EOF үшбұрыштары да тең қабырғалы болатындай О нүктесі бар болатынын дәлелдеңіздер.

«Шешуі». Алдымен берілген алтыбұрыш центрлі симметриялы екенін дәлелдейік. Шынымен де, AB және DE өзара параллель және тең, онда ABDE – параллелограмм. Яғни, оның дигональдары AD және BE қандай да бір О нүктесінде қиылысады және онымен қақ бөлінеді. Тура солай, AD мен CF қиылысуында қақ бөлінеді. Яғни, О нүктесі барлық үш диагональдердің ортасы және алтыбұрыштың симметрия центрі болады. Олай болса DFB үшбұрышы тең қабырғалы ACE үшбұрышына О нүктесіне қарағанда симметриялы, сондықтан ол да – тең қабырғалы. Яғни бұл үшбұрыштардың центрлері О нүктесімен беттеседі. AD BF –ты H нүктесінде қиып өтсін. BHO бұрышы – тік, себебі DH –DBF үшбұрышының биіктігі және HBO = 30, себебі BO – осы үшбұрыштағы B бұрышының биссектрисы. Сондықтан BOH = 60. Бірақ AO = BО (ACE және BDF тең үшбұрыштардың медианаларының тең бөліктері). Олай болса, AOB – төбесіндегі бұрышы 60-қа тең теңбүйірлі үшбұрыш, яғни –тең қабырғалы.
Тура осылай COD және EOF үшбұрыштары да тең қабырғалы екені дәлелденеді.

7. 10-сыныптағы сабақта мынандай есеп берілді: «Радиусы R дөңгелекке іштей ауданы ең үлкен тең бүйірлі үшбұрыш сызыңдар». Тақтаға шыққан оқушы төмендегідей шешім келтірді.
Тең бүйірлі үшбұрыштың төбесіндегі бұрышы  -ға тең болсын. Онда үшбұрыштың бүйір қабырғасы: b = 2Rcos0,5. Үшбұрыштың ауданы: S = 0,5b2sin = 2R2sincos20,5. Дәрежені төмендететін формуланы қолдансақ: S = R2(1 + cos)sin. Туындысын тауып S’ = R2(cos +cos2) = R2(2cos2 + cos –1) аламыз.
Алмастыру жасайық: t = cos. Пайда болған 2t2 + t – 1 квадрат үшмүшенің түбірлері –1 және 0,5-ке тең. (–1; 0,5) аралығында оның мәндері теріс, ал (0,5; +) аралықта оң, яғни 0,5-тен «өткенде» туынды таңбасын минустан плюске өзгертеді. Яғни, бұл нүкте минимум нүктесі болады. Олай болса, ауданның ең үлкен мәні болмайды.

Осыдан кейін оқушы есеп шартында қате басылу бар деп ойлап, яғни ең үлкен аудан емес ең кіші аудан болуы керек деп болжады.
1) Оқушының соңғы болжамы дұрыс па? Негіздеңіз.
2) Егер оның шешімінде қателер мен кемшіліктер бар болса, оларды көрсетіңіздер және жан–жақты түсіндіріңіздер.

8. Есептің барынша көп шешу әдістерін келтіріңіздер: « өрнегінің ең үлкен мәнін табыңыздар.

sabaq.kz